La construcción de estos números esta basada en 5 axiomas, llamados "Los Axiomas de Peano"

Estos axiomas definen de manera exacta al conjunto de los números naturales. Fueron establecidos por el matemático italiano Giuseppe Peano (1858-1932) en el siglo XIX. Peano además de matemático fue filósofo y realizó contribuciones a la teoría de conjuntos. Publicó más de 200 libros y artículos, la mayoría sobre matemáticas. Parte de su vida la dedicó a enseñar en Turín.

Bueno, luego de conocer un poco de historia de este gran matemático, aquí van estos 5 famosos axiomas

1. El 1 es un número natural (es decir, el conjunto de los números naturales no es vacío).
2. Si a es un número natural, entonces existe un número natural a′ llamado el sucesor de a .
3. El 1 no es sucesor de ningún número natural (es el primer elemento del conjunto).
4. Si hay 2 números naturales a y b tales que sus sucesores son diferentes entonces a y b son
distintos.
5. (Axioma de inducción) Si un conjunto de números naturales contiene al 1 y a los sucesores de
cada uno de sus elementos entonces contiene a todos los números naturales

Por el axioma 1 y 3, se tiene que existe el primer elemento de los números naturales, el numero 1
Por el axioma 2, se tiene que existe 1′, llamado el sucesor de uno, este va a ser el numero 2
Por el mismo axioma, existe 2′, el sucesor de dos, que va a ser el numero 3

Con el axioma 4 se garantiza que si hay dos números que tienen sucesores diferentes, estos números son diferentes. O lo que es lo mismo, si se tienen dos números que son iguales, sus sucesores son iguales. Esto es un poco obvio, pero es para evitar posibles contradicciones.

Ahora, siguiendo el axioma de inducción, se forma este conjunto de los números naturales. Una manera de ponerlo es {1,1′,(1′)′,((1′)′)′,…} ; si se escribe 1′ = 2 , 2′ = 3 , 3′ = 4 y así sucesivamente, con lo que se tiene la representación N = {1,2,3,4,…}.



Tomado de: http://www.taringa.net/comunidades/profedemate2001/607970/Construccion-de-los-numeros-naturales.html